Bài 2/6 · Quản trị Danh mục: Markowitz, CAPM, Fama-French
Markowitz: biên hiệu quả và danh mục tiếp tuyến
Mục tiêu bài học
- Xác định danh mục phương sai nhỏ nhất (GMV).
- Xác định danh mục tiếp tuyến khi có tài sản phi rủi ro.
- Hiểu định lý tách biệt hai quỹ và hạn chế của tối ưu hoá Markowitz.
Nội dung chính
Lý thuyết danh mục hiện đại (Markowitz, 1952) định nghĩa biên hiệu quả (efficient frontier) là tập hợp các danh mục có lợi suất kỳ vọng cao nhất ứng với mỗi mức rủi ro, hoặc tương đương, rủi ro thấp nhất ứng với mỗi mức lợi suất kỳ vọng.
Danh mục phương sai nhỏ nhất (GMV)
Điểm ngoài cùng bên trái của biên hiệu quả — nơi rủi ro thấp nhất có thể đạt được từ tổ hợp các tài sản rủi ro — gọi là danh mục phương sai nhỏ nhất (Global Minimum Variance).
Danh mục tiếp tuyến và định lý tách biệt hai quỹ
Khi có thêm một tài sản phi rủi ro, đường phân bổ vốn (Capital Allocation Line — CAL) nối tài sản phi rủi ro với điểm tiếp tuyến của biên hiệu quả sẽ cho tỷ lệ Sharpe (lợi suất vượt trội/rủi ro) tối đa. Định lý tách biệt hai quỹ (two-fund separation) phát biểu rằng: mọi nhà đầu tư duy lý, bất kể mức độ e ngại rủi ro, nên nắm giữ cùng một danh mục rủi ro (danh mục tiếp tuyến) — chỉ khác nhau ở tỷ lệ phân bổ giữa danh mục này và tài sản phi rủi ro.
Hạn chế thực tế
Nhược điểm lớn nhất của tối ưu hoá Markowitz thuần tuý là độ nhạy cực cao với sai số ước lượng lợi suất kỳ vọng — một thay đổi nhỏ trong giả định lợi suất có thể làm tỷ trọng tối ưu thay đổi rất mạnh ("error maximization"). Đây là lý do các mô hình thực tế thường thêm ràng buộc (không bán khống, giới hạn tỷ trọng tối đa) hoặc dùng phương pháp ổn định hơn như Black-Litterman (bài 6).
Ứng dụng: Nhiều quỹ đầu tư thực tế không tối ưu hoá Markowitz "thuần" mà dùng các phiên bản đã điều chỉnh (thêm ràng buộc, co rút ước lượng — shrinkage estimation) để tránh danh mục quá tập trung do sai số ước lượng.
Công thức cốt lõi
Tỷ trọng danh mục GMV (2 tài sản)
\[ w_1^{*} = \frac{\sigma_2^2 - \rho\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2} \]Không phụ thuộc vào lợi suất kỳ vọng.
Tỷ trọng danh mục tiếp tuyến
\[ w_1^{T} = \frac{\mu_1\sigma_2^2 - \mu_2\rho\sigma_1\sigma_2}{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2\sigma_1^2 - (\mu_1+\mu_2)\rho\sigma_1\sigma_2} \]\(\mu_i = E[R_i]-r_f\): lợi suất vượt trội.
Tỷ số Sharpe
\[ \text{Sharpe} = \frac{E[R_p]-r_f}{\sigma_p} \]Danh mục tiếp tuyến có Sharpe cao nhất trong mọi tổ hợp tài sản rủi ro.
Ví dụ số
Ví dụ: GMV và danh mục tiếp tuyến
Dữ kiện: Dữ liệu bài 1: cổ phiếu E=10%,σ=20%; trái phiếu E=6%,σ=10%; ρ=0,2; r_f = 4%.
- GMV: w₁ = (0,01 − 0,2×0,2×0,1)/(0,04+0,01−2×0,2×0,2×0,1) = 0,006/0,042 = 14,29%.
- GMV: E = 0,1429×10%+0,8571×6% = 6,57%; σ = 9,56%.
- Tiếp tuyến: μ₁=6%, μ₂=2%. w₁ = (0,06×0,01−0,02×0,2×0,2×0,1)/(0,06×0,01+0,02×0,04−0,08×0,2×0,2×0,1) = 48,15%.
- Tiếp tuyến: E = 0,4815×10%+0,5185×6% = 7,93%; σ = 11,82%.
- Sharpe tiếp tuyến = (7,93%−4%)/11,82% = 0,332.
Kết quả: GMV: w₁=14,29%, σ=9,56%. Tiếp tuyến: w₁=48,15%, Sharpe=0,332.
Diễn giải: Danh mục tiếp tuyến có tỷ trọng cổ phiếu (48,15%) cao hơn nhiều so với GMV (14,29%) — vì mục tiêu không còn là rủi ro thấp nhất tuyệt đối mà là tỷ lệ lợi suất vượt trội trên rủi ro cao nhất.
Công cụ: Biên hiệu quả & danh mục tiếp tuyến
Nhập thông số 2 tài sản và lãi suất phi rủi ro để xác định GMV, danh mục tiếp tuyến và đường CAL.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- GMV không phụ thuộc vào lợi suất kỳ vọng — chỉ phụ thuộc σ và ρ, nên ít nhạy sai số ước lượng hơn danh mục tiếp tuyến.
- Danh mục tiếp tuyến rất nhạy với sai số nhỏ trong ước lượng lợi suất kỳ vọng — đây là lý do cần thận trọng khi áp dụng trực tiếp Markowitz.
- Trong thực tế, nhiều nhà quản lý quỹ giới hạn tỷ trọng tối đa mỗi tài sản để tránh danh mục quá tập trung do lỗi tối ưu hoá.
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- Biên hiệu quả là tập hợp danh mục tối ưu lợi suất/rủi ro; GMV là điểm rủi ro thấp nhất trên biên.
- Với tài sản phi rủi ro, danh mục tiếp tuyến có Sharpe cao nhất; mọi nhà đầu tư nên giữ cùng danh mục này (định lý tách biệt hai quỹ).
- Tối ưu Markowitz rất nhạy sai số ước lượng lợi suất kỳ vọng — cần ràng buộc hoặc phương pháp ổn định hơn trong thực tế.