Bài 3/6 · Fixed Income: Định giá & Rủi ro Lãi suất
Convexity & ước lượng giá bậc hai
Mục tiêu bài học
- Tính convexity của trái phiếu.
- Kết hợp duration và convexity để ước lượng giá bậc hai.
- Nhận biết trường hợp convexity âm (trái phiếu có quyền mua lại).
Nội dung chính
Duration là xấp xỉ tuyến tính bậc nhất cho quan hệ giá–lợi suất — nhưng quan hệ thật sự là một đường cong lồi (convex), không phải đường thẳng. Convexity đo độ cong này, và khi kết hợp với duration sẽ cho ước lượng chính xác hơn nhiều, đặc biệt với các cú sốc lợi suất lớn.
Vì sao convexity dương là "tài sản tốt"
Với hầu hết trái phiếu thông thường (không có quyền chọn kèm theo), convexity dương: khi lợi suất giảm, giá tăng nhiều hơn mức duration dự đoán; khi lợi suất tăng, giá giảm ít hơn mức duration dự đoán. Nói cách khác, convexity dương luôn có lợi cho người nắm giữ trái phiếu ở cả hai chiều biến động lãi suất.
Khi convexity âm
Một số công cụ nợ có convexity âm: trái phiếu có quyền mua lại (callable bond) — khi lãi suất giảm mạnh, tổ chức phát hành có xu hướng gọi mua lại trái phiếu để phát hành mới với lãi suất thấp hơn, khiến giá trái phiếu bị "chặn trên" gần giá gọi mua, không tăng theo lý thuyết duration. Chứng khoán bảo đảm bằng thế chấp (MBS) cũng thường có convexity âm do người vay có xu hướng trả nợ trước hạn khi lãi suất giảm.
Effective duration/convexity
Khi dòng tiền của công cụ phụ thuộc vào lãi suất (như MBS, trái phiếu có quyền chọn), công thức Macaulay không còn áp dụng trực tiếp được — thay vào đó dùng effective duration/convexity, tính bằng cách định giá lại công cụ ở hai kịch bản lợi suất tăng/giảm nhỏ và lấy sai phân số.
Ứng dụng: Khi so sánh hai trái phiếu có cùng duration, nhà đầu tư nên ưu tiên trái phiếu có convexity cao hơn nếu giá cả hai tương đương — đó là một "bảo hiểm miễn phí" trước biến động lãi suất lớn.
Công thức cốt lõi
Convexity
\[ C = \frac{1}{P(1+y)^2}\sum_t \frac{t(t+1)CF_t}{(1+y)^t} \]Đơn vị: năm bình phương.
Ước lượng giá bậc hai
\[ \frac{\Delta P}{P}\approx -MD\,\Delta y + \tfrac12 C(\Delta y)^2 \]Số hạng convexity luôn dương, bù đắp cho ước lượng duration ở cả hai chiều.
Effective convexity (khi dòng tiền phụ thuộc lãi suất)
\[ C_{eff} = \frac{P_- + P_+ - 2P_0}{P_0(\Delta y)^2} \]\(P_-, P_+\): giá khi lợi suất giảm/tăng một lượng nhỏ \(\Delta y\).
Ví dụ số
Ví dụ: So sánh ước lượng giá
Dữ kiện: Trái phiếu 10 năm, coupon 5%, YTM 5% (giá ban đầu = 100).
- Modified duration = 7,722; Convexity = 75,00.
- Lợi suất tăng lên 6% (Δy = +1%).
- Giá thật (tính đầy đủ) = 92,64.
- Ước lượng chỉ bằng duration: 100 × (1 − 7,722×0,01) = 92,28.
- Ước lượng duration + convexity: 100 × (1 − 0,07722 + 0,5×75×0,0001) = 92,65.
Kết quả: Giá thật 92,64; ước lượng duration 92,28 (sai số 0,36); ước lượng duration+convexity 92,65 (sai số 0,01).
Diễn giải: Chỉ với một số hạng convexity bổ sung, sai số ước lượng giảm từ 0,36 xuống còn 0,01 — cho thấy giá trị thực tiễn lớn của việc tính thêm convexity khi cú sốc lợi suất đáng kể.
Công cụ: So sánh ước lượng giá
So sánh giá thật với ước lượng chỉ dùng duration và ước lượng duration + convexity.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- Convexity dương luôn có lợi cho người mua trái phiếu — nếu hai trái phiếu có giá và duration bằng nhau, luôn chọn trái phiếu convexity cao hơn.
- Trái phiếu callable, MBS có thể có convexity âm — cần dùng effective duration/convexity thay vì công thức Macaulay chuẩn.
- Với cú sốc lợi suất nhỏ (dưới 50bp), phần đóng góp của convexity thường không đáng kể so với duration.
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- Convexity đo độ cong của quan hệ giá–lợi suất, bổ sung cho xấp xỉ tuyến tính của duration.
- Ước lượng bậc hai (duration + convexity) chính xác hơn nhiều với cú sốc lợi suất lớn.
- Trái phiếu callable và MBS có thể có convexity âm, cần dùng effective duration/convexity.