Bài 1/6 · Tài chính Định lượng: Monte Carlo & Giải tích Ngẫu nhiên
Lợi suất lôgarit & phân phối lognormal
Mục tiêu bài học
- Phân biệt lợi suất số học và lợi suất lôgarit.
- Tính trung bình, trung vị và khoảng tin cậy của giá theo phân phối lognormal.
- Tính xác suất giá vượt/dưới một ngưỡng cho trước.
Nội dung chính
Trong tài chính định lượng, lợi suất lôgarit (log-return, r = ln(S_t/S_{t-1})) được ưa dùng hơn lợi suất số học vì có tính chất cộng dồn theo thời gian: tổng lợi suất log qua nhiều kỳ đơn giản bằng tổng các lợi suất log từng kỳ — trong khi lợi suất số học thì không cộng dồn theo cách đơn giản như vậy.
Vì sao giá cổ phiếu tuân theo phân phối lognormal
Nếu lợi suất log tuân theo phân phối chuẩn (giả định nền tảng của mô hình Black-Scholes), thì bản thân giá cổ phiếu S_T sẽ tuân theo phân phối lognormal — luôn dương (phù hợp với thực tế giá không thể âm) và lệch phải (có đuôi phải dài hơn đuôi trái, giá có thể tăng vô hạn nhưng chỉ giảm tối đa về 0).
Volatility drag: vì sao trung bình khác trung vị
Với phân phối lognormal, trung bình luôn lớn hơn trung vị. Tốc độ tăng trưởng điển hình (trung vị, hay tốc độ tăng trưởng kép thực tế theo thời gian) bằng μ − σ²/2, thấp hơn tốc độ tăng trưởng kỳ vọng số học μ. Chênh lệch σ²/2 này gọi là "volatility drag" — biến động càng cao, tốc độ tăng trưởng kép thực tế càng bị bào mòn nhiều so với con số trung bình số học hay được quảng cáo.
Tính xác suất và khoảng tin cậy
Vì ln(S_T) tuân theo phân phối chuẩn, có thể tính trực tiếp xác suất giá vượt/dưới một ngưỡng, hoặc khoảng tin cậy của giá tại một thời điểm tương lai, bằng cách áp dụng hàm phân phối chuẩn tắc N(·) lên biến đã chuẩn hoá.
Bài học thực tế: Khi một quỹ quảng cáo "lợi suất trung bình 15%/năm" với độ biến động cao, nhà đầu tư nên tự hỏi tốc độ tăng trưởng kép thực tế (gần với trung vị) sẽ thấp hơn đáng kể — đây là lý do nhiều quỹ biến động cao có kết quả tích luỹ dài hạn gây thất vọng dù "lợi suất trung bình" trông rất ấn tượng.
Công thức cốt lõi
Phân phối của ln(S_T)
\[ \ln S_T \sim \mathcal N\!\left(\ln S_0 + (\mu - \tfrac{\sigma^2}{2})T,\ \sigma^2T\right) \]\(\mu\): tốc độ tăng trưởng số học kỳ vọng; \(\sigma\): biến động hằng năm.
Trung bình và trung vị của S_T
\[ E[S_T] = S_0e^{\mu T},\qquad \text{Median}(S_T) = S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)T} \]Xác suất dưới ngưỡng
\[ P(S_T < K) = N\!\left(\frac{\ln(K/S_0) - (\mu-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}\right) \]Ví dụ số
Ví dụ: Phân phối giá sau 1 năm
Dữ kiện: S₀ = 100; μ = 10%; σ = 25%; T = 1 năm; ngưỡng K = 100.
- E[S_T] = 100 × e^0,10 = 110,52.
- Median(S_T) = 100 × e^(0,10−0,03125) = 100 × e^0,06875 = 107,12.
- P(S_T < 100) = N[(ln(1) − 0,06875)/0,25] = N(−0,275) = 39,17%.
- Khoảng tin cậy 95%: ln(S_T) ~ N(0,06875 + ln100, 0,0625) ⇒ [100×e^(0,06875−1,96×0,25); 100×e^(0,06875+1,96×0,25)] = [65,62; 174,85].
Kết quả: E[S_T] = 110,52; Median = 107,12; P(S_T<100) = 39,17%; khoảng 95% = [65,62; 174,85].
Diễn giải: Dù lợi suất trung bình kỳ vọng là +10%/năm, có tới 39,17% xác suất giá sau 1 năm vẫn thấp hơn giá ban đầu — minh hoạ rõ cho thấy 'lợi suất kỳ vọng dương' không đồng nghĩa với 'khả năng cao sẽ lãi' khi biến động lớn.
Công cụ: Phân phối giá lognormal
Nhập giá ban đầu, tốc độ tăng trưởng, biến động và kỳ hạn để xem phân phối giá tương lai.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- Volatility drag (σ²/2) là hệ quả toán học thuần tuý của bổ đề Itô (bài 3), không phải một 'chi phí' hay 'phí' theo nghĩa thông thường.
- Khoảng tin cậy tính theo phân phối lognormal luôn bất đối xứng quanh giá ban đầu — cận trên xa hơn cận dưới.
- Giả định μ, σ không đổi trong suốt kỳ hạn T là đơn giản hoá — trong thực tế cả hai đều thay đổi theo thời gian và theo chế độ thị trường.
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- Lợi suất log cộng dồn theo thời gian; lợi suất số học thì không.
- Giá cổ phiếu tuân theo phân phối lognormal nếu lợi suất log tuân theo phân phối chuẩn.
- Volatility drag (σ²/2) khiến tốc độ tăng trưởng kép thực tế (trung vị) luôn thấp hơn lợi suất kỳ vọng số học.