Bài 2/6 · Tài chính Định lượng: Monte Carlo & Giải tích Ngẫu nhiên
Chuyển động Brown hình học (GBM)
Mục tiêu bài học
- Hiểu tính chất của chuyển động Brown chuẩn (Wiener process).
- Mô phỏng đường đi giá theo GBM bằng nghiệm chính xác.
- So sánh kết quả mô phỏng với phân phối lý thuyết ở bài 1.
Nội dung chính
Chuyển động Brown chuẩn (Wiener process, W_t) là nền tảng toán học của hầu hết các mô hình tài chính liên tục: gia số của nó trên các khoảng thời gian không chồng lấp là độc lập, tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai bằng đúng độ dài khoảng thời gian, và đường đi liên tục nhưng "gồ ghề" đến mức không khả vi ở bất kỳ điểm nào.
Từ Brown chuẩn đến GBM
Chuyển động Brown hình học (Geometric Brownian Motion — GBM) là mô hình chuẩn cho giá tài sản: phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn giá thay đổi tỷ lệ với chính giá hiện tại, cộng thêm một thành phần xu hướng (drift) và một thành phần khuếch tán ngẫu nhiên (diffusion) cũng tỷ lệ với giá.
Mô phỏng bằng nghiệm chính xác
Điểm thuận lợi của GBM là có nghiệm chính xác dạng đóng (không cần rời rạc hoá gần đúng kiểu Euler): tại mỗi bước thời gian, giá mới được tính trực tiếp bằng công thức mũ chứa số hạng hiệu chỉnh −σ²/2 (chính là volatility drag đã học ở bài 1, sẽ chứng minh bằng bổ đề Itô ở bài 3) cộng với một cú sốc ngẫu nhiên chuẩn tắc nhân với σ√Δt.
Kiểm tra bằng mô phỏng nhiều đường
Khi mô phỏng đủ nhiều đường đi độc lập, phân phối thực nghiệm của giá tại thời điểm cuối phải hội tụ về đúng phân phối lognormal lý thuyết đã tính ở bài 1 — đây là cách kiểm tra tính đúng đắn của công cụ mô phỏng trước khi dùng cho các bài toán phức tạp hơn.
Lưu ý kỹ thuật: Với số lượng đường mô phỏng nhỏ, trung bình và trung vị mẫu sẽ lệch khỏi giá trị lý thuyết do sai số thống kê (luật số lớn cần cỡ mẫu đủ lớn để hội tụ) — đây là lý do các ứng dụng thực tế thường mô phỏng hàng chục nghìn đến hàng triệu đường.
Công thức cốt lõi
Phương trình GBM
\[ dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \]\(dW_t\): gia số Brown chuẩn, \(dW_t \sim \mathcal N(0, dt)\).
Nghiệm chính xác (mô phỏng từng bước)
\[ S_{t+\Delta t} = S_t\exp\!\left[(\mu - \tfrac{\sigma^2}{2})\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z\right],\quad Z\sim\mathcal N(0,1) \]Ví dụ số
Ví dụ: Mô phỏng 20 đường GBM
Dữ kiện: S₀=100, μ=10%, σ=25%, T=1 năm, 252 bước (theo ngày), 20 đường mô phỏng, seed=42.
- Δt = 1/252 ngày; mỗi bước: S ×= exp[(0,10−0,03125)/252 + 0,25×√(1/252)×Z].
- Lặp 252 bước cho mỗi đường, lặp lại cho 20 đường độc lập (dùng cùng bộ sinh số tuần tự).
- Giá cuối kỳ trung bình của 20 đường ≈ 113,38.
- Giá cuối kỳ trung vị của 20 đường ≈ 109,54.
Kết quả: Trung bình mẫu (20 đường) = 113,38; trung vị mẫu = 109,54.
Diễn giải: So với giá trị lý thuyết ở bài 1 (trung bình 110,52; trung vị 107,12), kết quả mô phỏng với chỉ 20 đường có sai số đáng kể — minh hoạ trực tiếp cho thấy cần rất nhiều đường mô phỏng để ước lượng hội tụ về đúng giá trị lý thuyết theo luật số lớn.
Công cụ: Mô phỏng đường giá GBM
Mô phỏng nhiều đường giá theo GBM với seed cố định để có thể tái lập kết quả.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- Kết quả mô phỏng phụ thuộc vào seed — với cùng seed và tham số, kết quả luôn tái lập được (thuộc tính quan trọng để kiểm thử và so sánh).
- Số bước lớn hơn (mô phỏng chi tiết hơn theo ngày thay vì theo tháng) không làm thay đổi phân phối lý thuyết của GBM, chỉ ảnh hưởng đến độ mượt của đường mô phỏng.
- Với số đường mô phỏng nhỏ, không nên dùng kết quả để suy luận số liệu chính xác — chỉ nên dùng cho mục đích minh hoạ trực quan.
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- Chuyển động Brown chuẩn có gia số độc lập, phân phối chuẩn với phương sai bằng thời gian trôi qua.
- GBM có nghiệm chính xác dạng đóng, cho phép mô phỏng không sai số rời rạc hoá.
- Với số đường mô phỏng nhỏ, kết quả mẫu lệch khỏi giá trị lý thuyết — cần nhiều đường hơn để hội tụ theo luật số lớn.