Bài 1/6 · Quản trị Rủi ro: VaR, CVaR, Stress Test
Đo biến động: độ lệch chuẩn & EWMA
Mục tiêu bài học
- Tính độ lệch chuẩn lợi suất và quy đổi theo thời gian.
- Cập nhật biến động bằng công thức EWMA.
- Phân biệt EWMA với GARCH(1,1) và hạn chế của quy tắc căn bậc hai thời gian.
Nội dung chính
Biến động (volatility) của tài sản tài chính không phải hằng số theo thời gian — nó có xu hướng "theo cụm" (volatility clustering): giai đoạn biến động cao thường kéo theo biến động cao, và ngược lại. Nếu tính độ lệch chuẩn với trọng số bằng nhau cho toàn bộ dữ liệu lịch sử, mô hình sẽ phản ứng rất chậm với các cú sốc mới.
EWMA: trọng số giảm dần theo mũ
Mô hình EWMA (Exponentially Weighted Moving Average, chuẩn RiskMetrics) giải quyết vấn đề này bằng cách gán trọng số giảm dần theo cấp số nhân cho các quan sát trong quá khứ — quan sát gần nhất có trọng số lớn nhất. Tham số λ (thường 0,94 cho dữ liệu ngày) kiểm soát tốc độ suy giảm: λ càng gần 1, mô hình càng có "trí nhớ" dài và phản ứng càng chậm với cú sốc mới; λ càng nhỏ, mô hình càng nhạy với biến động gần đây.
GARCH(1,1): thêm tính hồi quy về trung bình
Mô hình GARCH(1,1) mở rộng EWMA bằng cách thêm một hằng số ω, khiến phương sai có xu hướng hồi quy về một mức dài hạn thay vì chỉ phụ thuộc vào quá khứ gần — phù hợp hơn khi biến động có xu hướng "trở về mức bình thường" sau các cú sốc.
Quy tắc căn bậc hai thời gian và giới hạn
Để quy đổi biến động từ một khung thời gian sang khung thời gian khác (ví dụ từ ngày sang năm), thường dùng quy tắc căn bậc hai thời gian — nhưng quy tắc này giả định lợi suất độc lập theo thời gian (i.i.d.), một giả định thường bị vi phạm khi có hiện tượng biến động theo cụm hoặc tự tương quan.
Ứng dụng thực tế: Bộ phận quản trị rủi ro của ngân hàng thường cập nhật σ theo EWMA hằng ngày để tính VaR (bài 2) — giúp hạn mức rủi ro phản ứng kịp thời khi thị trường bắt đầu biến động mạnh, thay vì chỉ phát hiện sau khi tổn thất đã xảy ra.
Công thức cốt lõi
Cập nhật EWMA
\[ \sigma_t^2 = \lambda\sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)r_{t-1}^2 \]\(\lambda\): hệ số suy giảm (RiskMetrics dùng 0,94 cho dữ liệu ngày).
GARCH(1,1)
\[ \sigma_t^2 = \omega + \alpha r_{t-1}^2 + \beta\sigma_{t-1}^2 \]Có thêm ω để phương sai hồi quy về mức dài hạn.
Quy đổi theo thời gian
\[ \sigma_{năm} = \sigma_{ngày}\sqrt{252} \]Giả định lợi suất độc lập, cùng phân phối (i.i.d.).
Ví dụ số
Ví dụ: Cập nhật σ sau cú sốc
Dữ kiện: σ hôm qua = 1,0%/ngày; lợi suất hôm qua = −3%; λ = 0,94.
- σ² = 0,94×(0,01)² + 0,06×(0,03)² = 0,94×0,0001 + 0,06×0,0009 = 0,000148.
- σ = √0,000148 = 1,2166%/ngày.
- σ năm ≈ 1,2166% × √252 = 19,31%/năm.
- So sánh: với trọng số bằng nhau trên 250 ngày, một quan sát −3% duy nhất gần như không làm σ thay đổi.
Kết quả: σ sau cập nhật = 1,2166%/ngày (≈19,31%/năm).
Diễn giải: EWMA làm σ tăng ngay lập tức từ 1,00% lên 1,2166% chỉ sau một cú sốc lớn — phản ứng nhanh này là lý do EWMA được ưa chuộng trong quản trị rủi ro thị trường ngày, nơi tốc độ phát hiện rủi ro mới quan trọng hơn độ mượt của ước lượng.
Công cụ: Cập nhật biến động EWMA
Nhập σ ban đầu, λ và chuỗi lợi suất để xem σ cập nhật tuần tự qua từng quan sát.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- EWMA phản ứng nhanh với cú sốc nhưng cũng 'quên' nhanh — một cú sốc đơn lẻ có thể làm σ tăng vọt rồi giảm nhanh nếu không có thêm biến động sau đó.
- λ = 0,94 là tham số chuẩn của RiskMetrics cho dữ liệu ngày; với dữ liệu tháng thường dùng λ khác (ví dụ 0,97).
- Quy tắc căn bậc hai thời gian có thể đánh giá thấp rủi ro thực tế khi có tự tương quan dương trong lợi suất (xu hướng kéo dài).
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- EWMA cập nhật σ với trọng số giảm dần theo mũ, phản ứng nhanh hơn với cú sốc mới so với độ lệch chuẩn trọng số bằng nhau.
- GARCH(1,1) mở rộng EWMA bằng cách thêm tính hồi quy về mức phương sai dài hạn.
- Quy tắc căn bậc hai thời gian tiện lợi nhưng có thể sai lệch khi lợi suất không độc lập.