Bài 3/7 · Phái sinh & Định giá Quyền chọn
Mô hình cây nhị thức (CRR)
Mục tiêu bài học
- Xây cây nhị thức CRR và tính xác suất trung hoà rủi ro.
- Định giá quyền chọn Âu và Mỹ bằng quy nạp ngược.
- Quan sát sự hội tụ của giá CRR về giá Black-Scholes khi tăng số bước.
Nội dung chính
Mô hình cây nhị thức (Cox-Ross-Rubinstein — CRR) chia thời gian đến đáo hạn thành nhiều bước rời rạc; ở mỗi bước, giá tài sản cơ sở chỉ có thể đi lên (nhân với u) hoặc đi xuống (nhân với d). Đây là mô hình định giá phái sinh trực quan nhất và là nền tảng để hiểu các mô hình phức tạp hơn.
Xác suất trung hoà rủi ro
Điểm mấu chốt của định giá không arbitrage là xác suất p không phải là xác suất "thật" mà nhà đầu tư tin tưởng, mà là xác suất giả định sao cho lợi suất kỳ vọng của tài sản cơ sở đúng bằng lãi suất phi rủi ro r. Dưới xác suất trung hoà rủi ro này, giá trị hiện tại của quyền chọn được tính bằng cách chiết khấu kỳ vọng payoff.
Quy nạp ngược và quyền chọn Mỹ
Giá quyền chọn được tính bằng cách lùi từ các nút cuối cùng (đáo hạn) về nút gốc. Với quyền chọn kiểu Mỹ, tại mỗi nút trung gian cần so sánh giá trị "tiếp tục nắm giữ" (theo công thức quy nạp) với giá trị "thực hiện ngay" (giá trị nội tại) — chọn giá trị lớn hơn, vì người nắm giữ luôn có quyền thực hiện sớm nếu có lợi.
Hội tụ về Black-Scholes
Khi số bước tăng lên vô hạn (Δt → 0), giá quyền chọn Âu tính từ cây nhị thức hội tụ về đúng công thức Black-Scholes (bài 4) — CRR về bản chất là một cách rời rạc hoá của cùng một mô hình xác suất liên tục.
Ứng dụng thực tế: Mô hình cây nhị thức được ưa chuộng để định giá quyền chọn kiểu Mỹ và các sản phẩm có tính năng thực hiện sớm phức tạp, nơi công thức đóng dạng Black-Scholes không áp dụng trực tiếp được.
Công thức cốt lõi
Tham số cây CRR
\[ u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},\quad d = 1/u,\quad p = \frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d} \]Định giá quy nạp ngược
\[ V = e^{-r\Delta t}[pV_u + (1-p)V_d] \]Quyền chọn Mỹ: \(V = \max(\text{nội tại}, \text{tiếp tục})\) tại mỗi nút.
Ví dụ số
Ví dụ: Cây nhị thức 2 bước
Dữ kiện: S=K=100, r=5%, σ=20%, T=1 năm, 2 bước.
- Δt = 0,5; u = e^(0,2×√0,5) = 1,1519; d = 1/u = 0,8681.
- p = (e^(0,05×0,5) − 0,8681)/(1,1519 − 0,8681) = 0,5539.
- Giá tại các nút cuối: S_uu=132,69; S_ud=100; S_dd=75,36.
- Payoff call cuối: max(132,69−100,0)=32,69; max(100−100,0)=0; 0.
- Chiết khấu ngược 2 bước ⇒ Call Âu ≈ 9,54.
- Với put Mỹ (K=100): thực hiện sớm có lợi tại nút S=86,81 ⇒ Put Mỹ ≈ 5,74 (> Put Âu ≈ 4,66).
Kết quả: Call Âu (2 bước) = 9,54; Put Mỹ (2 bước) = 5,74; Put Âu (2 bước) = 4,66.
Diễn giải: Với 100 bước, giá Call Âu hội tụ về 10,43 — rất gần giá Black-Scholes chính xác 10,45 ở bài 4, minh chứng cho sự hội tụ của mô hình rời rạc về mô hình liên tục.
Công cụ: Cây nhị thức CRR
Nhập thông số quyền chọn và số bước để định giá bằng mô hình CRR; xem bảng cây khi số bước ≤ 6.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- Giá CRR hội tụ về Black-Scholes nhưng thường dao động (không đơn điệu) khi tăng dần số bước — nên dùng số bước đủ lớn (≥100) hoặc kỹ thuật làm mượt khi cần độ chính xác cao.
- Với quyền chọn Mỹ trên cổ phiếu không trả cổ tức, call Mỹ không nên thực hiện sớm (giá trị luôn bằng call Âu) — nhưng put Mỹ có thể có giá trị thực hiện sớm ngay cả khi không có cổ tức.
- Mô hình CRR giả định biến động không đổi trong suốt thời gian — không phù hợp khi cần mô hình hoá volatility smile (bài 6).
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- CRR định giá quyền chọn bằng cây nhị thức và xác suất trung hoà rủi ro, tính bằng quy nạp ngược.
- Quyền chọn Mỹ so sánh giá trị tiếp tục với giá trị thực hiện ngay tại mỗi nút.
- Khi số bước tăng, giá CRR hội tụ về giá Black-Scholes cho quyền chọn Âu.