Bài 6/6 · Tài chính Định lượng: Monte Carlo & Giải tích Ngẫu nhiên
Mô hình lãi suất Vasicek
Mục tiêu bài học
- Hiểu cơ chế hồi quy về trung bình trong mô hình Vasicek.
- Tính giá trái phiếu zero-coupon và lợi suất từ công thức Vasicek.
- Nhận biết ưu nhược điểm của mô hình so với thực tế.
Nội dung chính
Khác với giá cổ phiếu (thường mô hình bằng GBM, có thể tăng trưởng không giới hạn), lãi suất có xu hướng dao động quanh một mức trung bình dài hạn theo thời gian — không thể mô hình hoá tốt bằng GBM. Mô hình Vasicek (1977) là mô hình lãi suất ngắn hạn đầu tiên nắm bắt được đặc tính hồi quy về trung bình này.
Cơ chế hồi quy về trung bình
Mô hình Vasicek có ba tham số: a (tốc độ hồi quy về trung bình — a càng lớn, lãi suất càng nhanh chóng quay về mức b), b (mức lãi suất dài hạn), và σ (biến động). Khi lãi suất hiện tại r₀ cao hơn b, mô hình dự đoán xu hướng giảm dần về b; khi thấp hơn, dự đoán xu hướng tăng dần.
Công thức đóng dạng cho giá trái phiếu zero
Ưu điểm lớn nhất của Vasicek là có công thức đóng dạng (affine term structure) cho giá trái phiếu zero-coupon ở mọi kỳ hạn — từ đó suy ra toàn bộ đường cong lợi suất chỉ từ 4 tham số (a, b, σ, r₀), rất thuận tiện để mô phỏng kịch bản lãi suất cho các mục đích quản trị rủi ro.
Hạn chế và mô hình thay thế
Nhược điểm thường được nêu ra của Vasicek: vì r_t tuân theo phân phối chuẩn, lãi suất có xác suất dương (dù nhỏ) trở thành âm — từng được coi là phi thực tế nhưng đã bớt bất thường hơn kể từ khi nhiều nền kinh tế trải qua giai đoạn lãi suất âm sau 2015. Mô hình CIR (Cox-Ingersoll-Ross) khắc phục bằng cách thêm số hạng σ√r vào phần khuếch tán, đảm bảo lãi suất luôn không âm.
Ứng dụng thực tế: Ngân hàng dùng các mô hình lãi suất ngắn hạn như Vasicek để mô phỏng hàng nghìn kịch bản lãi suất tương lai, phục vụ kiểm tra sức chịu đựng thu nhập lãi thuần (Net Interest Income stress test) và định giá các sản phẩm phái sinh lãi suất đơn giản.
Công thức cốt lõi
Phương trình Vasicek
\[ dr_t = a(b - r_t)dt + \sigma\,dW_t \]\(a\): tốc độ hồi quy; \(b\): mức lãi suất dài hạn.
Giá trái phiếu zero-coupon
\[ P(0,T) = A(T)e^{-B(T)r_0},\quad B(T) = \frac{1-e^{-aT}}{a} \]\(A(T) = \exp\!\left[\left(b - \frac{\sigma^2}{2a^2}\right)(B(T)-T) - \frac{\sigma^2B(T)^2}{4a}\right]\).
Lợi suất và tiệm cận dài hạn
\[ y(T) = -\frac{\ln P(0,T)}{T},\qquad y(\infty) = b - \frac{\sigma^2}{2a^2} \]Ví dụ số
Ví dụ: Đường cong lợi suất Vasicek
Dữ kiện: a = 0,1; b = 5%; σ = 1%; r₀ = 3%; kỳ hạn tra cứu T = 5 năm.
- B(5) = (1−e^(−0,5))/0,1 = 3,935.
- A(5) = exp[(0,05 − 0,0001/0,02)×(3,935−5) − 0,0001×3,935²/0,4] ≈ exp[(0,045)×(−1,065) − 0,00387] ≈ exp(−0,0522).
- P(0,5) = A(5)×e^(−3,935×0,03) ≈ 0,8438.
- Lợi suất 5 năm = −ln(0,8438)/5 = 3,40%.
- Lợi suất dài hạn tiệm cận y(∞) = 0,05 − 0,0001/(2×0,01) = 4,50%.
Kết quả: P(0,5) = 0,8438; lợi suất 5 năm = 3,40%; lợi suất dài hạn tiệm cận = 4,50%.
Diễn giải: Vì r₀ = 3% thấp hơn mức dài hạn b = 5%, đường cong lợi suất Vasicek dốc lên: lợi suất kỳ hạn ngắn thấp hơn lợi suất kỳ hạn dài, phản ánh kỳ vọng lãi suất sẽ tăng dần về mức trung bình dài hạn.
Công cụ: Đường cong lợi suất Vasicek
Nhập tham số mô hình để tính giá trái phiếu, lợi suất tại một kỳ hạn và xem toàn bộ đường cong.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- Tham số a, b, σ cần được hiệu chỉnh (calibrate) khớp với đường cong lợi suất thị trường hiện tại và biến động lịch sử trước khi dùng cho mục đích thực tế.
- Vì r_t tuân theo phân phối chuẩn, mô hình Vasicek cho phép lãi suất âm — cần cân nhắc khi diễn giải kết quả trong môi trường lãi suất rất thấp.
- Mô hình CIR và các mô hình đa nhân tố phức tạp hơn (Hull-White, HJM) khắc phục một số hạn chế của Vasicek nhưng đánh đổi bằng độ phức tạp tính toán cao hơn.
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- Vasicek mô hình hoá lãi suất ngắn hạn với cơ chế hồi quy về mức trung bình dài hạn b với tốc độ a.
- Có công thức đóng dạng cho giá trái phiếu zero-coupon và toàn bộ đường cong lợi suất.
- Nhược điểm: cho phép lãi suất âm; CIR và các mô hình phức tạp hơn khắc phục một số hạn chế này.