Bài 4/6 · Quản trị Rủi ro: VaR, CVaR, Stress Test
Expected Shortfall (CVaR) & thước đo rủi ro nhất quán
Mục tiêu bài học
- Tính Expected Shortfall dưới giả định phân phối chuẩn.
- Hiểu các tính chất của thước đo rủi ro nhất quán (coherent).
- Giải thích vì sao Basel FRTB chuyển từ VaR 99% sang ES 97,5%.
Nội dung chính
VaR trả lời "ngưỡng lỗ tối đa với xác suất α cho trước là bao nhiêu", nhưng không cho biết gì về mức độ nghiêm trọng nếu tổn thất thực sự vượt ngưỡng đó. Expected Shortfall (ES, còn gọi là CVaR) khắc phục điều này bằng cách tính trung bình các khoản lỗ trong phần đuôi vượt VaR.
Tính chất "nhất quán" (coherent) của thước đo rủi ro
Một thước đo rủi ro được coi là nhất quán nếu thoả bốn tính chất: đơn điệu (rủi ro cao hơn với danh mục tệ hơn), bất biến dịch chuyển (thêm tiền mặt giảm đúng rủi ro tương ứng), thuần nhất dương (nhân đôi quy mô thì rủi ro nhân đôi), và quan trọng nhất — cộng dưới (subadditive): rủi ro của tổng hai danh mục không được lớn hơn tổng rủi ro riêng lẻ (phản ánh lợi ích đa dạng hoá). VaR có thể vi phạm tính cộng dưới trong một số trường hợp (ví dụ danh mục có rủi ro vỡ nợ rời rạc), trong khi ES luôn thoả mãn tính chất này.
Vì sao Basel chuyển sang ES 97,5%
Sau khủng hoảng tài chính 2008, Uỷ ban Basel nhận thấy VaR không nắm bắt đầy đủ rủi ro đuôi trong giai đoạn căng thẳng. Khung Basel FRTB (Fundamental Review of the Trading Book) chuyển sang dùng ES ở mức tin cậy 97,5% làm thước đo chuẩn cho vốn rủi ro thị trường — dưới giả định phân phối chuẩn, ES 97,5% và VaR 99% có giá trị khá gần nhau, nhưng ES nhạy hơn với đặc điểm đuôi thực tế của phân phối.
Ứng dụng: Khi phân bổ hạn mức rủi ro giữa các bàn giao dịch trong một ngân hàng, dùng ES thay vì VaR khuyến khích đa dạng hoá đúng đắn hơn, vì ES đảm bảo tổng rủi ro của các bàn cộng lại không thể vượt quá tổng hạn mức đã phân bổ.
Công thức cốt lõi
Định nghĩa Expected Shortfall
\[ ES_\alpha = E[L \mid L \ge VaR_\alpha] \]Trung bình các khoản lỗ vượt ngưỡng VaR.
ES dưới giả định phân phối chuẩn
\[ ES_\alpha = \sigma V\frac{\varphi(z_\alpha)}{1-\alpha} \]\(\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\): hàm mật độ chuẩn tắc.
Ví dụ số
Ví dụ: So sánh VaR và ES (phân phối chuẩn)
Dữ kiện: V = 10 tỷ đồng; σ = 1,5%/ngày; kỳ hạn 1 ngày.
- z_99% = 2,3263 ⇒ VaR 99% = 2,3263 × 0,15 = 0,3489 tỷ.
- φ(2,3263)/(1−0,99) = 0,02665/0,01 = 2,6652 ⇒ ES 99% = 2,6652 × 0,15 = 0,3998 tỷ.
- z_97,5% = 1,9600 ⇒ VaR 97,5% = 1,9600 × 0,15 = 0,2940 tỷ.
- φ(1,9600)/(1−0,975) = 0,05844/0,025 = 2,3378 ⇒ ES 97,5% = 2,3378 × 0,15 = 0,3507 tỷ.
Kết quả: VaR 99% = 0,3489 tỷ; ES 97,5% = 0,3507 tỷ (rất gần nhau); ES 99% = 0,3998 tỷ.
Diễn giải: ES 97,5% (0,3507 tỷ) gần bằng VaR 99% (0,3489 tỷ) dưới giả định phân phối chuẩn — đây chính là lý do Basel chọn mức 97,5% cho ES để giữ mức vốn yêu cầu tương đương, trong khi vẫn có được các ưu điểm lý thuyết của ES.
Công cụ: So sánh VaR và ES (phân phối chuẩn)
Nhập giá trị danh mục và σ để so sánh VaR và ES ở các mức tin cậy khác nhau.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- ES luôn ≥ VaR ở cùng mức tin cậy — đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa (trung bình phần đuôi luôn ≥ ngưỡng bắt đầu đuôi).
- Với phân phối có đuôi dày hơn chuẩn (thực tế thị trường), khoảng cách giữa ES và VaR còn lớn hơn nhiều so với ước tính theo giả định chuẩn ở đây.
- Ước lượng ES từ dữ liệu lịch sử cần nhiều quan sát hơn VaR để ổn định thống kê, vì ES phụ thuộc vào toàn bộ hình dạng phần đuôi chứ không chỉ một điểm phân vị.
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- ES đo lỗ trung bình khi lỗ vượt VaR, trả lời câu hỏi 'nếu xấu thì xấu đến đâu'.
- ES là thước đo nhất quán (coherent) — luôn thoả tính cộng dưới, trong khi VaR có thể vi phạm.
- Basel FRTB chuyển sang ES 97,5% để nắm bắt rủi ro đuôi tốt hơn VaR 99%.