Bài 4/7 · Phái sinh & Định giá Quyền chọn
Mô hình Black-Scholes-Merton
Mục tiêu bài học
- Tính d1, d2 và giá call/put theo Black-Scholes-Merton.
- Diễn giải ý nghĩa xác suất của N(d1) và N(d2).
- Kiểm tra công thức bằng put-call parity.
Nội dung chính
Mô hình Black-Scholes-Merton (1973) là công thức đóng dạng nổi tiếng nhất trong tài chính định lượng, định giá quyền chọn kiểu Âu dựa trên năm giả định chính: giá tài sản cơ sở tuân theo chuyển động Brown hình học (GBM — sẽ học kỹ ở Course 7), biến động σ và lãi suất r không đổi trong suốt thời gian, không có chi phí giao dịch, giao dịch liên tục, và không có cơ hội arbitrage.
Ý nghĩa của d1, d2 và N(·)
N(d2) có ý nghĩa xác suất quan trọng: đó là xác suất (dưới độ đo trung hoà rủi ro) rằng quyền chọn call sẽ đáo hạn trong trạng thái có giá trị (in-the-money — ITM). N(d1) chính là delta của quyền chọn call — độ nhạy của giá quyền chọn với giá tài sản cơ sở (sẽ khai thác sâu ở bài 5).
Mở rộng Merton và Black-76
Công thức gốc Black-Scholes không tính cổ tức; phần mở rộng của Merton thêm tỷ suất cổ tức liên tục q. Black-76 là biến thể áp dụng cho quyền chọn trên hợp đồng futures thay vì cổ phiếu giao ngay.
Quan hệ với các biến đầu vào
Với quyền chọn Âu không cổ tức, giá quyền chọn (cả call lẫn put) luôn tăng theo biến động σ và (thường) tăng theo kỳ hạn T — biến động và thời gian càng lớn, "giá trị thời gian" của quyền chọn càng cao.
Ứng dụng tại Việt Nam: Khi định giá chứng quyền có bảo đảm (CW) niêm yết, cần chia kết quả BS cho tỷ lệ chuyển đổi (ví dụ tỷ lệ 5:1 nghĩa là cần 5 CW mới đổi được 1 cổ phiếu) và đặc biệt chú ý đến biến động ngụ ý — CW thường giao dịch với thanh khoản thấp, khiến giá thị trường có thể lệch khỏi giá lý thuyết.
Công thức cốt lõi
d1, d2
\[ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r-q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T},\quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt T \]Giá call và put
\[ C = Se^{-qT}N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2),\qquad P = Ke^{-rT}N(-d_2) - Se^{-qT}N(-d_1) \]\(N(\cdot)\): hàm phân phối tích luỹ chuẩn tắc.
Ví dụ số
Ví dụ: Định giá call và put ATM
Dữ kiện: S = K = 100, r = 5%, σ = 20%, T = 1 năm, q = 0.
- d1 = [ln(1) + (0,05+0,02)×1]/(0,2×1) = 0,07/0,2 = 0,35.
- d2 = 0,35 − 0,2 = 0,15.
- N(0,35) = 0,6368; N(0,15) = 0,5596.
- C = 100×0,6368 − 100×e^(−0,05)×0,5596 = 63,68 − 53,23 = 10,4506.
- P = 100×e^(−0,05)×N(−0,15) − 100×N(−0,35) = 95,12×0,4404 − 100×0,3632 = 5,5735.
Kết quả: C = 10,4506; P = 5,5735.
Diễn giải: Kiểm tra put-call parity: C − P = 10,4506 − 5,5735 = 4,8771, đúng bằng S − Ke^(−rT) = 100 − 95,1229 = 4,8771 — xác nhận công thức tính đúng.
Công cụ: Máy tính Black-Scholes-Merton
Nhập 5 tham số đầu vào để tính giá call, put và kiểm tra put-call parity.
Lưu ý thực tế & bẫy thường gặp
- Công thức BS chỉ áp dụng trực tiếp cho quyền chọn kiểu Âu — quyền chọn Mỹ cần mô hình khác (CRR, phương pháp lưới) khi có khả năng thực hiện sớm mang lại lợi ích.
- Giả định σ không đổi là điểm yếu lớn nhất của mô hình — thực tế thị trường có 'volatility smile' (bài 6).
- Khi định giá CW, luôn kiểm tra tỷ lệ chuyển đổi trong bản cáo bạch trước khi so sánh giá BS với giá thị trường.
Kiểm tra nhanh (5 câu)
Tóm tắt
- Black-Scholes-Merton định giá quyền chọn Âu dựa trên GBM với σ, r không đổi.
- N(d1) là delta của call; N(d2) là xác suất trung hoà rủi ro call đáo hạn ITM.
- Kết quả BS phải thoả put-call parity — đây là cách kiểm tra nhanh tính đúng đắn của phép tính.